缓和曲线参数精确推导

在20世纪90年代之前,我国的高速公路还没有大规模建设,公路建设基本以二、三级甚至更低等级的公路为主,因此测量放样采用以前教科书上的切线支距法、偏角法等已经可以满足测量精度和工期的需要。随着20世纪80年代末90年代初高速公路建设事业的兴起,公路平面线型设计多样化,线型组合复杂,加之建设进度要求加快,相应精度要求也比普通公路要高,切线支距法、偏角法等已经不能满足测量精度和工期的需求了。因此必须采用坐标法精确计算平曲线上任意点的坐标,然后再采用坐标法进行放样。在计算坐标的过程当中,直线和圆曲线的计算方法简单,难点在于计算缓和曲线上任意点的坐标。在我国的公路、铁路工程平曲线设计中,普遍采用辐射螺旋线(又称回旋曲线)作为缓和曲线的线型计算模型(因此以下的缓和曲线均指回旋曲线)。为了计算缓和曲线上任意点的坐标,我们有必要从缓和曲线特性来推导出其代表参数的计算公式,进而为坐标的精确计算提供基础依据。(本站原创作品,转载请注明摘自xya.in!)

一、缓和曲线特性:对于完整缓和曲线,设起点为ZH点,其半径r=∞,设终点为HY点,其半径r=R,起终点间缓和曲线全长为Ls;设p为缓和曲线上任意一点,曲率半径为r,该点至起点的曲线长度为l,根据回旋线特性:回旋线是半径与曲线长度成反比的曲线,则rl=RLs=c。其中c为常数,称为回旋线半径变化率,为今后计算方便,引入回旋曲线参数A,令A*A=c。即当缓和曲线终点圆曲线半径(回旋线曲率半径)R及回旋线长度Ls已知时,c及A即可唯一确定。

二、缓和曲线参数计算:

1、回旋曲线参数A的计算:根据前述缓和曲线特性,已经得出回旋曲线参数A的计算公式即:A*A=c=rl=RLs。

2、回旋线中心角的计算:根据几何关系可知,回旋线上任意点p与缓和曲线起点之间的曲线长度l所对应的曲线中心角β(也称之为螺旋角)是p点切线与起点切线之间的夹角。

dβ=dl/ρ=l*dl/c=ldl/(RLs)==>β=∫ldl/(RLs)=l*l/(2RLs);则当l=Ls及缓和曲线终点处对应的缓和曲线圆心角为:

β0=Ls*Ls/(2RLs)=Ls/(2R)=A*A/(2R*R))=Ls*Ls/(2A*A)

3、局部坐标参数计算:(由于该博客程序不支持微软公式编辑器的公式,稍后再设法将计算过程附后。因推导过程公式很是复杂,因此计算和推导过程略!)–折腾了许久,终于找到一个PhpMathPublisher插件,可以让我在此博客中书写数学公式啦!不过写起来很是辛苦啊,需要输入一大堆规则表达式才能正确显示,希望看过本博客的朋友多支持一下本站长(点击一下广告,或者留言感谢一下也好,呵呵……)

A2=rl=RLs,

dl=rdβ=>dl=A2/l·dβ=>ldl=A2dβ=>l2=2A2β=>β=l2/(2A2)=>2β=l2/A2=(A4/r2)/A2=A2/r2=>r=A/sqrt(2β);   sqrt(2β)=A/r;  β=l2/(2A2)=l2/(2r2l2)=l/(2r)

dx=dl·cosβ=rdβ·cosβ=A/sqrt(2β)·cosβ=>x=A/sqrt(2)·∫cosβ/sqrt(β)dβ

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dy=dl·sinβ=rdβ·sinβ=A/sqrt(2β)·sinβ=>x=A/sqrt(2)·∫sinβ/sqrt(β)dβ

分别将cos(β)和sin(β)用技术公示展开再代入上述x,y的积分公式即可求出想,y的数值公式:

cos(β)=1-β2/2!+β4/4!+……+(-1)iβ2i/(2i)!  (注:i=0从第一项1开始)

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sin(β)=β-β3/3!+β5/5!+……+(-1)iβ2i+1/(2i+1)!  (注:i=0从第一项β开始)

则x=l(1-(l/(2r))2/((2)!(4+1))+……+(-1)i(l/(2r))2i/((2i)!(4i+1)))=l(1-(l2/(2RLs))2/((2)!(4+1))+……+(-1)i(l2/(2RLs))2i/((2i)!(4i+1)))

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y=l(l/(2r)/3+……+(-1)i(l/(2r))2i+1/((2i+1)!(4i+3)))=l(l2/(2RLs)/3+……+(-1)i(l2/(2RLs))2i+1/((2i+1)!(4i+3)))

即以完整缓和曲线起点(半径为∞)切线方向为x轴,法线方向为y轴的局部坐标系内,曲线上任意点(到起点的缓和曲线长为l)坐标可以通过上述2公式计算出来,在计算时可以通过判断每一级数项的数值大小来确定其计算精度,因此可以无限接近其真值。对于公路工程施工放样而言,只要精度达到1mm即可满足相关要求,因此通过判断每一级数项的数值绝对值是否小于1mm即可确定其坐标计算所需到达的级数项。

4、内移距p,外移距q的计算:

内移距即半径为r处缓和曲线曲率圆的内移值,其几何表达式为p=y-r(1-cosβ)

外移距即半径为r处缓和曲线曲率圆的外移距(曲线起点向后或向外后移的距离),其几何表达式为q=x-rsinβ。

分别将x,y,coβs,sinβ的级数展开公式代入,可以得到如下级数展开的计算公式:

p=l2/(24r)+……+(-1)i(l2i+2/(2(2i+2)!(4i+3)(2r)2i+1))

q=l/2+……+(-1)i(l2i+1/(2(2i+1)!(4i+1)(2r)2i))

为防止计算时数值溢出,将上述公式稍作修改,确保计算结果更精确:

p=l^2/{24r}+cdots+(-1)^i l/{2*(2i+2)!*(4i+3)}(l/{2r})^{2i+1} q=l/2+cdots+(-1)^i l/{2*(2i+1)!*(4i+1)}(l/{2r})^{2i}