缓和曲线上任意点切线方位角公式及推导

通过站长的文章“卵形曲线特性研究”、“缓和曲线参数精确推导”等即可以计算出缓和曲线任意点的坐标x、y,如何计算出该点的切线方位角以方便的计算该点的边桩坐标(可通过站长的文章《两个最基本也是最重要的坐标求解公式》中“求解直线上任意点的坐标及方位角”的方法)呢?下面笔者就以缓和曲线参数的有关特性推导出缓和曲线上任意点切线方位角计算的公式,希望能帮到各位测友!
由缓和曲线参数A^2=rl=RLs可知,缓和曲线上各点的曲率半径与该点至缓和曲线起点的弧长成反比,亦即缓和曲线上各点的曲率与该点至缓和曲线起点的弧长成正比。缓和曲线起点处曲率Ko=0,设A点距缓和曲线起点的距离为La,曲率为Ka,B点距缓和曲线起点的距离为Lb,曲率为Kb,则在A、B间任意点(设其距A点距离为l)的曲率K为(曲率K应按前述在Ka与Kb之间线性变化,令A点至B点的缓和曲线弧长为Lf,则Lf=|Lb-La|,设定弧长为正值,曲率增减符号变化由Kb-Ka确定,则有):
K=K_a+{{K_b-K_a}/L_f}l 式中Ka=1/Ra;Kb=1/Rb
dβ=dl/r=Kdl则 beta=int{0}{l}{Kdl}
将K值代入得:
beta={K_a}l+{{K_b-K_a}/{2L_f}}l^2
设缓和曲线起点处切线方位角为alpha_a
右偏时,alpha=alpha_a+beta
左偏时,alpha=alpha_a-beta
将β代入则有:
alpha=alpha_a pm ({K_a}l+{{K_b-K_a}/{2L_f}}l^2)
上式即为求解曲线上任意点切线方位角公式,右偏取”+”,左偏取”-“。即已知曲线起终点曲率及起点方位角即可由弧长l计算出任意点的切线方位角。
其实该式也同样适用于直线和圆,对于直线K=0,β=0,α=α(即方位角同起点方位角);对于圆,K=1/R,alpha=alpha_a pm {K_a}l