卵形曲线特性研究

        在平曲线设计过程中由于受到定性限制或地物限制,不能按对称缓和曲线或或不对称缓和曲线设计方式对交点参数进行设计,不能让两相邻交点已两端均设置完整曲线的方式相连,同时为了行车更顺畅,需要在两交点的圆曲线(半径不一样大)间插入一段缓和曲线即卵形曲线以完成曲线设计;而在另一方面,在现在的互通立交匝道设计中,普遍采用了直线、圆曲线、缓和曲线、卵形曲线互相连接的线型设计方法。为了掌握卵形曲线坐标计算方法,从而确保将卵形曲线精确放样,我们有必要对卵形曲线的特性进行探讨,进而为其坐标计算寻求更优和有效地计算方法。

         卵形曲线是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。也就是说:卵形曲线本身是缓和曲线的一段,只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段,因此不是一条完整的缓和曲线。

        假设有一段卵形曲线,其起始半径为R1,终点半径为R2(同时假设R1>R2),设l1为卵形曲线由∞→R1时缓和曲线长,l2为卵形曲线由∞→R2时缓和曲线长,卵形曲线长为L_F,则卵形曲线有关参数特性如下:

1、回旋线曲率变化率:C_F=R1R2/{R1-R2}L_F=R1l1=R2l2。其推导过程如下:

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C_F=R1l1=R2l2=R2(l1+L_F)=R2l1+R2L_F,则l1=R2L_F/{R1-R2},则R1L1=R1R2/{R1-R2}L_F=C_F,即相当于圆曲线半径为R_F=R1R2/{R1-R2},缓和曲线长度为L_F的完整缓和曲线参数!

2、卵形曲线起终点缓和曲线长度l1、l2的计算:

有前述C_F={R_1R_2}/{R1-R2}L_F=R1l1=R2l2可知:l1=R2L_F/{R1-R2};l2=R1L_F/{R1-R2}。(其实无论是R1>R2还是R2>R1,l1和l2的计算公式可以唯一表示为:l1=R2L_F/{delim{|}{R1-R2}{|}};l2=R1L_F/{delim{|}{R1-R2}{|}}。)

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3、卵形曲线对应圆心角beta_F={R1+R2}/{2R1R2}L_F,其推导过程如下:

假设R1处对应的缓和曲线中心角为β1,R2处对应的缓和曲线中心角为β2,根据《缓和曲线参数精确推导》相关知识可知,beta_1=l1/{2R1},beta_2=l2/{2R2},beta=beta_2-beta_1=l2/{2R2}-l1/{2R1}={R1l2-R2l1}/{2R1R2}={R1(l1+L_F)-R2l1}/{2R1R2}={(R1-R2)l1+R1L_F}/{2R1R2},而l1={R2L_F}/{R1-R2}{(R1-R2)l1=R2L_F,则beta={(R1-R2)l1+R1L_F}/{2R1R2}={R1+R2}/{2R1R2}L_F!本站原创作品,转载请注明摘自xya.in

4、两圆间内移距(即两圆曲线之间最小距离)P_F的计算(本人想通过已知已知R1,R2,L_F,从而求出两圆之间内移距P_F,目前尚未成功)

原本以为可以按照圆曲线半径为R_F=R1R2/{R1-R2},缓和曲线长度为L_F的完整缓和曲线特例来并通过《缓和曲线参数精确推导》推导的p值计算公式来计算,可是经过示例测算有误差,目前百思不得其解!也希望有高人能指点。

其实我们可以通过其几何关系求得其值,假设卵形曲线起点半径为R1时曲率圆的圆心为O1,圆心坐标为(Xo1,Yo1),终点半径为R2时曲率圆的圆心为O2,圆心坐标为(Xo2,Yo2),则P_F={delim{|}{R1-R2}{|}}-O1O2,因R1,R2已知,只要求出O1O2(即两圆心之间的距离)即可得到两圆之间的内移距。作为求解O1O2的一种方法,是分别求出O1的圆心坐标(Xo1,Yo1),O2的圆心坐标(Xo2,Yo2),然后O1O2=sqrt{(Xo1-Xo2)^2+(YO1-Yo2)^2}即可求出!设R1处的按完整缓和曲线计算的局部坐标为X1,Y1,R2处的按完整缓和曲线计算的局部坐标为X2,Y2,同理,内移距分别为P1,P2,圆心角分别为β1,β2,则通过几何关系知:

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Xo1=X1-R1sinβ1,Xo2=X2-R2sinβ2;

Yo1=R1+P1=Y1+R1cosβ1,Yo2=R2+P2=Y2+R1cosβ2

前述各参数均可根据本站长以前介绍的指示求得,至此,两圆间内移距P_F就已经可以求解出来了!